Parturi paljastaa Russellin joukko-opillisen paradoksin

 

(Lue ensin: Ristiriidan laki modernissa logiikassa: Paluu aikaan vai lopullinen irtautuminen siitä?)

Vuonna 1918 Bertrand Russell (kuvassa) muotoili kuuluisan ajatusleikin, joka tunnetaan nimellä parturiparadoksi:

”Kylässä on parturi, joka ajaa parran kaikilta niiltä kyläläisiltä, jotka eivät itse aja partaansa. Ajaako parturi oman partansa?”

- Jos hän ajaa → hän ei saisi ajaa (koska hän ajaa vain niiltä, jotka eivät itse aja). 

- Jos hän ei aja → hänen pitäisi ajaa (koska silloin hän kuuluu niiden joukkoon, jotka eivät itse aja).

Tulos: parturi sekä ajaa että ei aja oman partansa – samaan aikaan.

Tämä ei ole mikään vitsi, vaan täsmälleen sama ongelma kuin Russellin alkuperäinen joukko-opillinen paradoksi vuodelta 1901:

Määritellään joukko R = {x | x ∉ x} 

(Kaikki joukot, jotka eivät sisällä itseään jäsenenään.)

Kysymys: kuuluuko R itseensä? 

- Jos kyllä → se ei saisi kuulua (määritelmän mukaan). 

- Jos ei → sen pitää kuulua (määritelmän mukaan).

Molemmat johtopäätökset ovat yhtä lailla oikeita ja vääriä. Syntyy aito looginen ristiriita.

Perinteiset ”korjaukset”

- Zermelo–Fraenkelin joukko-oppi (ZFC): kieltää tällaiset itseviittaavat joukot kokonaan. 

- Tyyppiteoria: kieltää lauseet, joissa puhutaan joukosta itsestään. 

- Luokkateoria (von Neumann–Bernays–Gödel): siirtää ongelman ”oikeiden joukkojen” ulkopuolelle.

Graham Priestin dialeteistinen ratkaisu

Ei tarvitse kieltää mitään. Parturi on olemassa – ja hän sekä ajaa että ei aja oman partansa. Russellin joukko R on olemassa – ja se sekä kuuluu että ei kuulu itseensä.

Tämä ei ole sekoilua, sillä Priest hyödyntää parakonsistenttia logiikkaa, jossa ristiriidasta ei seuraa mitä tahansa. Ristiriita on paikallinen ja hallittu, eikä se siten tarkoita koko järjestelmän romahdusta.

Parturiesimerkki on siis täydellinen osoitus siitä, että itseviittaus voi tuottaa aidon dialeteian – väitteen, joka on yhtä aikaa tosi ja epätosi. 😶

Anssi H. Manninen (aka ”Kant II”)