Kun matematiikka tiesi ennen kaukoputkea: Varmuuden sietämätön tehokkuus (Osa I)

 

Hyvä herrasväki, olette saattaneet aiemmin lukea pari tilastotieteisiin liittyvää kirjoitustani (esim. tämä). Nyt siirrymme matematiikanfilosofian pohjarakennelmiin. Kursorisesti tarkasteltuna voi vaikuttaa siltä, ettei tämä liity millään tavalla niihin tyyppeihin, jotka lueskelevat tutkimusartikkeleista p-arvoja sun muita. Tämä oletus on kuitenkin virheellinen, sillä tässä selvennetään perustavanlaatuisen tärkeää pointtia. 

Se on tyystin hukassa niiltä hemuleilta, jotka vähättelevästi sanovat: ”Se on vain matematiikkaa”. Todellisuudessa matematiikalla on ainutlaatuinen ominaisuus, joka on askarruttanut ajattelijoita antiikista asti. Kun lähdet liikkeelle selkeistä määritelmistä ja itsestään selvistä lähtökohdista, päädyt johtopäätöksiin, jotka eivät ole vain "hyviä arvauksia" tai "todennäköisesti totta". Ne ovat välttämättömiä. Jos hyväksyt premissit, sinun on pakko hyväksyä myös johtopäätös. Tätä kutsutaan deduktioksi: yleisestä säännöstä johdetaan yksittäistapaus, ja jos sääntö on tosi, johtopäätös on tosi – aina.

Juuri tämä deduktiivinen mylly erottaa matematiikan kaikista empiirisistä tieteistä. Fysiikka, kemia, lääketiede – ne kaikki perustuvat havaintoihin, jotka ovat aina jossain määrin epävarmoja. Mikään kliininen tutkimus ei koskaan anna sataprosenttista varmuutta – ei lähellekään. Matematiikka antaa. Kun todistat Pythagoraan lauseen, et "havaitse" sitä. Sinä näet, ettei se ylipäätään voi olla toisin.

Mutta sitten pääsemme tämän 2-osaisen kirjoituksen ytimeen. Voit hyvinkin kysyä: "Entä sitten? Matematiikka on vain ihmisten keksimä peli. Se ei kerro mitään todellisuudesta."

Tähän vastaa jykevästi yksi tieteenhistorian tunnetuimmista havainnoista.

"Järjetön tehokkuus" ja matematiikan suuri ihme

Vuonna 1960 unkarilaissyntyinen fyysikko Eugene Wigner julkaisi esseen, jonka otsikosta oli tulema legenda: The Unreasonable Effectiveness of Mathematics in the Natural Sciences – matematiikan järjetön tehokkuus luonnontieteissä. Wigner ihmetteli sitä, miten puhdas, abstrakti matematiikka – ihmismielen tuote, joka ei ole "kenenkään keksimä" siinä mielessä kuin pyörä tai höyrykone – pystyy kuvaamaan luonnonilmiöitä niin uskomattoman tarkasti. Hän vertasi tätä ihmeeseen: miksi maailma ylipäätään noudattaa sääntöjä, jotka ihmisjärki voi tavoittaa?

Matematiikan filosofiassa tämä kysymys on jaettu karkeasti kahteen leiriin. Platonistit ajattelevat, että matemaattiset totuudet ovat olemassa itsenäisesti, jossain mystisessä ideoiden maailmassa, riippumatta siitä, löydämmekö niitä koskaan. Formalistit puolestaan pitävät matematiikkaa eräänlaisena sääntöpelinä – hyödyllisenä mutta lopulta ihmisen rakentamana järjestelmänä. Kummassakin tapauksessa tosiasia on kiistaton: matematiikka toimii. Se on parhaita työkaluja, joita ihmiskunnalla on koskaan ollut.

Esimerkki, joka hiljentää epäilijät: Neptunuksen löytäminen

Kuvittele tämä. Olet 1840-luvun tähtitieteilijä. Olet havainnut, että Uranus-planeetan rata ei käyttäydy aivan niin kuin Newtonin lakien mukaan pitäisi. Se ikään kuin "vinksahtaa" välillä. Mitä tämä tarkoittaa? Joko Newtonin lait ovat väärässä – tai sitten taivaalla on jotain, mitä et ole vielä nähnyt.

Ranskalainen matemaatikko Urbain Le Verrier (kuvassa) valitsi jälkimmäisen vaihtoehdon. Hän ei katsonut kaukoputkeen. Hän istui pöydän ääreen ja laski. Hän otti Uranuksen radan poikkeamat ja kysyi: "Jos Newtonin lait pitävät paikkansa, missä tuntemattoman planeetan täytyy sijaita, jotta se aiheuttaisi juuri nämä poikkeamat?" Se oli puhdasta matematiikkaa. Ei havaintoja, ei mittauksia, ei arvausta. Vain laskentaa. Kirjaimellisesti pelkkää paperia ja mustetta.

Lopputulos? Le Verrier laski planeetan sijainnin oikein. Kun berliiniläinen tähtitieteilijä Johann Galle suuntasi kaukoputkensa siihen pisteeseen, jonka Le Verrier oli antanut, hän löysi Neptunuksen – ensimmäisen planeetan, joka löydettiin ennen kuin sitä katsottiin. Sitä ei löydetty havainnoimalla. Se löydettiin deduktiolla.

Tämä on matematiikan järjettömän tehokkuuden huipennus. Matematiikka ei ainoastaan kuvaillut maailmaa – se ennusti asioita, joita kukaan ei ollut vielä nähnyt. Kun fyysikot myöhemmin ennustivat Higgsin bosonin olemassaolon matemaattisten symmetrioiden perusteella ja löysivät sen 50 vuotta myöhemmin CERNin hiukkaskiihdyttimellä, he toistivat Le Verrierin tempun suuremmassa mittakaavassa.

Anssi H. Manninen (aka ”Kant II”)

Lue myös: Säästöliekin salaisuus paljastuu – Osa III: Massan poistumiskerroin (k)