Paperia, mustetta ja kaukainen tuntematon

 

Hyvä herrasväki, jos pysähdytte hetkeksi miettimään Neptunuksen löytämistä, huomaatte jotain tyystin kummallista. Ja tämä aihe on perustellusti ollut matematiikanfilosofian polttopisteessä from Day 1.

Urbain Le Verrier ei siis matkustanut minnekään. Hän ei katsonut kaukoputkeen. Hän ei koskenut mihinkään mittalaitteeseen. Hän istui pöydän äärellä, ja hänellä oli edessään paperia ja mustetta. Siinä kaikki. Paperia. Mustetta. Ja hänen mielensä.

Sillä hän laski, missä planeetan täytyy olla.

Funtsitaan tätä hetki. Planeetta on yli neljän miljardin kilometrin päässä. Kukaan ei ollut koskaan nähnyt sitä. Kukaan ei ollut koskaan kuvitellut sen olemassaoloa. Ja silti Le Verrier, pelkällä paperilla ja musteella, laski sen sijainnin niin tarkasti, että kun kaukoputki lopulta suunnattiin oikeaan pisteeseen, planeetta oli siellä. Ei suunnilleen. Ei melkein. Vaan juuri siinä, mihin laskelmat osoittivat.

Tämä on suorastaan käsittämätöntä. Kuinka voi olla mahdollista, että ihmismielen sisällä syntynyt abstrakti järjestelmä – numerot ja yhtälöt, joita kukaan ei ole koskaan koskettanut – kuvaa maailmankaikkeuden kaukaisimpia kolkkia?

Järjetön tehokkuus

Tämä on juuri se, mitä fyysikko Eugene Wigner tarkoitti puhuessaan matematiikan ”järjettömästä tehokkuudesta”. Se on järjetöntä, koska siinä ei pitäisi olla mitään järkeä. Matematiikka on ihmisen keksintö, mutta se käyttäytyy kuin se olisi keksitty yhdessä maailmankaikkeuden kanssa.

Jos matematiikka olisi vain ihmisten laatima sääntöpeli, miksi se osuisi maaliin näin tarkasti? Miksi Newtonin lait, jotka hän kirjoitti 1600-luvulla paperille, pätisivät myös Uranuksen ja Neptunuksen välisessä vetovoimassa, jota hän ei koskaan nähnyt? Miksi Maxwellin yhtälöt ennustivat radioaaltoja, joita kukaan ei ollut havainnut? Miksi Einsteinin kenttäyhtälöt ennustivat mustia aukkoja, jotka löydettiin vasta sata vuotta myöhemmin?

Tämä on se ihme, jota Wigner ei osannut selittää. Hän ei sanonut, että matematiikka on poikkeuksellisen hyödyllinen työkalu. Hän sanoi, että se on järjettömän tehokasta. Se on kuin saisit käteesi kartan, jonka joku piirsi sokkona, ja kartta osoittautuisi täydelliseksi.

Kaukana luolamiesten maailmasta

Tämä on kaukana siitä maailmasta, jossa ihmismieli alun perin kehittyi. Luolamiehet eivät laskeneet planeettojen ratoja. He eivät ratkoneet differentiaaliyhtälöitä. He katsoivat yötaivasta ja nimesivät tähtikuvioita.

Ja silti sama mieli, joka kehittyi selviämään savannilla, pystyi rakentamaan Newtonin mekaniikan ja laskemaan Neptunuksen sijainnin. Tämä on evoluution näkökulmasta käsittämätöntä. Aivomme eivät kehittyneet ymmärtämään neljän miljardin kilometrin päässä sijaitsevia jääjättiläisiä. Ne kehittyivät erottamaan marjoja, pakenemaan petoja ja rakentamaan sosiaalisia liittoutumia.

Mutta jossain vaiheessa tapahtui jotain. Aivomme, jotka syntyivät savannille, alkoivat tuottaa symboleja, jotka osoittautuivat maailmankaikkeuden koodiksi. Miten se on mahdollista? Sitä ei kukaan osaa selittää.

Ei aivan täydellinen

Joku saattaa muistaa oikein, ettei laskelman tulos vastannut täysin empiiristä havaintoa. Kun Johann Galle Berliinissä suuntasi kaukoputkensa Le Verrierin laskemaan pisteeseen 23. syyskuuta 1846, Neptunus löytyi noin yhden asteen päästä ennustetusta sijainnista. Se on äärimmäisen pieni virhe, kun ottaa huomioon, että planeetta oli yli neljän miljardin kilometrin päässä ja että sitä ei ollut koskaan havaittu. Mutta se on silti virhe. Se ei ollut täydellinen osuma.

Mistä tämä johtui? Ei matematiikan sisäisestä epävarmuudesta, vaan siitä, että laskelman lähtötiedot ja oletukset eivät olleet täydellisiä.

Le Verrier joutui tekemään useita oletuksia. Tunnetuin niistä koski Neptunuksen rataa. Hän oletti planeetan olevan kauempana Auringosta kuin se todellisuudessa on. Tämä johtui siitä, että hän joutui arvioimaan planeetan etäisyyden ja massan osittain ilman suoraa havaintoa. Lisäksi Uranus-planeetan rataa ei tunnettu täysin tarkasti – Uranus oli löydetty vasta 1781, joten sen koko rataa ei ollut ehditty havainnoida riittävän pitkään. Myös muiden planeettojen massat tunnettiin vain likimäärin, ja ne vaikuttivat laskelmiin.

Kun malliin syötetään epätarkkoja lähtöarvoja, deduktiivinen koneisto tekee työnsä virheettömästi mutta päätyy silti hieman väärään tulokseen. Tämä on juuri se, mitä tarkoitetaan "roskat sisään, roskat ulos" -periaatteella: matematiikka ei korjaa puutteellisia premissejä. Se ainoastaan paljastaa niiden loogiset seuraukset.

Tämä ei kuitenkaan heikennä matematiikan "järjettömän tehokkuuden" ihmettä. Päinvastoin se tekee siitä vielä kiinnostavamman. Le Verrierin laskelma ei ollut pelkkä abstrakti temppu – se oli todellinen, fysikaaliseen todellisuuteen ankkuroitu malli, joka oli niin hyvä, että yhden asteen virhe miljardien kilometrien etäisyydellä riitti löytämään uuden planeetan. Mutta se samalla muistuttaa, että fysiikan lakeihin perustuva laskelma on vain niin tarkka kuin se empiirinen data, johon se nojaa.

Loppukaneetti

Ja niin jäämme kysymään: onko matematiikka löytö vai keksintö? Olemmeko me löytäneet jotain, mikä on aina ollut olemassa? Vai olemmeko me keksineet jotain, mikä sattuu toimimaan?

Wigner ei pyrkinyt vastaamaan. Hän vain totesi, että tämä on ihme, jota emme ansaitse emmekä ymmärrä.

Anssi H. Manninen (aka ”Kant II”)